题目内容
12.已知等比数列{an}的公比q>1,Sn是它的前n项之和,Tn是它的前n项倒数之和,并且a102=a15,求满足不等式Sn>Tn的最小自然数.分析 设等比数列的首项为a,公比为q,且q>1,运用等比数列的通项公式,可得aq4=1,运用求和公式,化简Sn,Tn,再由指数函数的单调性,解不等式即可得到n的最小值.
解答 解:设等比数列的首项为a,公比为q,且q>1,
由a102=a15,可得a2q18=aq14,化简得aq4=1,
Sn=a1+a2+…+an=$\frac{a(1-{q}^{n})}{1-q}$,
Tn=$\frac{1}{{a}_{1}}+\frac{1}{{a}_{2}}+…+\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{\frac{1}{a}(1-\frac{1}{{q}^{n}})}{1-\frac{1}{q}}$=$\frac{q({q}^{n}-1)}{a{q}^{n}(q-1)}$,
由Sn>Tn,可得a>$\frac{q}{a{q}^{n}}$,
即有a2>q1-n,
即为q-8>q1-n,
由q>1可得-8>1-n,
即有n>9,
则满足Sn>Tn的最小正整数n是10.
点评 本题考查等比数列的通项和求和公式的运用,同时考查指数函数的单调性的运用和不等式的解法,属于中档题.
练习册系列答案
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A. | 100$\sqrt{3}$米 | B. | 100($\sqrt{3}$+1)米 | C. | 200米 | D. | 100($\sqrt{3}$+$\sqrt{2}$)米 |