题目内容

2.求下列函数的值域.
(1)y=$\frac{2x+1}{x-1}$(x≠1);
(2)y=$\frac{1-{2}^{x}}{1+{2}^{x}}$;
(3)y=x+$\sqrt{2x+1}$(变式为y=x-$\sqrt{2x+1}$);
(4)y=4x+2x+1
(5)y=x+$\frac{1}{x}$(x>0)

分析 (1)利用分离常数法化简y=$\frac{2x+1}{x-1}$=2+$\frac{3}{x-1}$(x≠1),从而求函数的值域;
(2)利用分离常数法化简y=$\frac{1-{2}^{x}}{1+{2}^{x}}$=-1+$\frac{2}{1+{2}^{x}}$,从而求函数的值域;
(3)利用换元法令t=$\sqrt{2x+1}$,t≥0,则x=$\frac{1}{2}$(t2-1),从而得到y=$\frac{1}{2}$(t2-1)+t=$\frac{1}{2}$(t+1)2-1≥-$\frac{1}{2}$;同理求得变式;
(4)化简y=4x+2x+1=(2x+1)2-1>0,
(5)利用基本不等式得y=x+$\frac{1}{x}$≥2(当且仅当x=1时,等号成立).

解答 解:(1)y=$\frac{2x+1}{x-1}$=2+$\frac{3}{x-1}$(x≠1),
故函数的值域为(-∞,2)∪(2,+∞);
(2)y=$\frac{1-{2}^{x}}{1+{2}^{x}}$=-1+$\frac{2}{1+{2}^{x}}$,
∵0<$\frac{2}{1+{2}^{x}}$<2,
∴-1<-1+$\frac{2}{1+{2}^{x}}$<1,
∴函数的值域为(-1,1);
(3)令t=$\sqrt{2x+1}$,t≥0,则x=$\frac{1}{2}$(t2-1),
则y=$\frac{1}{2}$(t2-1)+t=$\frac{1}{2}$(t+1)2-1≥-$\frac{1}{2}$,
故函数的值域为[-$\frac{1}{2}$,+∞);
同理可求得,
y=x-$\sqrt{2x+1}$的值域为[-1,+∞);
(4)y=4x+2x+1=(2x+1)2-1>0,
故函数的值域为(0,+∞);
(5)y=x+$\frac{1}{x}$≥2(当且仅当x=1时,等号成立),
故函数的值域为[2,+∞).

点评 本题考查了函数的值域的求法,属于中档题.

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