题目内容

11．设函数f（x）的导数为f′（x），若f（x）=ax3-ax2+[$\frac{1}{2}$f′（1）-1]x，a∈R．
（1）求f′（1）；
（2）函数f（x）在R上不存在极值，求a的取值范围．

分析 （1）对f（x）进行求导，把x=1代入f'（x），即可求得f'（1）．
（2）函数f（x）在R上不存在极值，等价于f'（x）=0无解．

解答 解：（1）f'（x）=3ax2-2ax+$\frac{1}{2}$f'（1）-1．
f'（1）=3a-2a+$\frac{1}{2}$f'（1）-1．
所以f'（1）=2a-2．
（2）f'（x）=3ax2-2ax+$\frac{1}{2}$f'（1）-1．
则f'（x）=0
即3ax2-2ax+a-2=0
当a=0时，无解，成立．
当a≠0时，△=4a2-12a（a-2）=-8a2+24a＜0
解得a＞3或a＜0．
综上所述a＞3，或a≤0

点评 本题主要考查利用导数的极值的定义，考查考生化归思想的应用．属于中档题．

练习册系列答案
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A．-2B．2C．$-\frac{9}{4}$D．$\frac{9}{4}$

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