Question

15．如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面PAB⊥底面ABCD，侧面PAB是边长为3的等边三角形，底面ABCD是正方形，M是侧棱PB上的点，N是底面对角线AC上的点，且PM=2MB，AN=2NC．
（Ⅰ）求证：AD⊥PB；
（Ⅱ）求证：MN∥平面PAD；
（Ⅲ）求点N到平面PAD的距离．

Answer 1

分析 （Ⅰ）证明AD⊥平面PAB，即可证明：AD⊥PB；
（Ⅱ）过M作MS∥BA交PA于点S，过N作NT∥CD交AD于点T，连接ST，证明MNTS是平行四边形，可得MN∥ST，即可证明MN∥平面PAD；
（Ⅲ）点M到平面PAD的距离是点N到平面PAD的距离．

解答 （Ⅰ）证明：∵侧面PAB⊥底面ABCD，且平面PAB与平面ABCD的交线为AB，AD⊥AB，AD?平面ABCD，
∴AD⊥平面PAB，
∵PB?平面PAB，∴AD⊥PB．        …（3分）
（Ⅱ）证明：过M作MS∥BA交PA于点S，过N作NT∥CD交AD于点T，连接ST，
∵PM=2MB，
∴MS=$\frac{2}{3}$BA，
同理可得NT=$\frac{2}{3}$CD=$\frac{2}{3}$BA，
∴MS∥NT，MS=NT，
∴MNTS是平行四边形，
∴MN∥ST，
又ST?平面PAD，MN?平面PAD，
∴MN∥平面PAD．…（6分）
（Ⅲ）解：∵MN∥平面PAD，∴点M到平面PAD的距离是点N到平面PAD的距离，
在平面PAB内过M作MH⊥PA于H，
∵AD⊥平面PAB，∴AD⊥MH，
∴MH⊥平面PAD，
∴MH是点M到平面PAD的距离，
在Rt△PMH中，PM=2，∠MPH=$\frac{π}{3}$，∴$MH=\sqrt{3}$，
∴点N到平面PAD的距离为$\sqrt{3}$．…（9分）

点评 本题考查平面与平面垂直的性质、直线与平面垂直、平行的判定，考查点到平面距离的计算，属于中档题．