Question

【题目】已知函数f（x）=1+ ．
（Ⅰ）是否存在实数a的值，使f（x）为奇函数？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由；
（Ⅱ）若a=1，t（2x+1）f（x）＞2x﹣2对x∈R恒成立，求实数f（x）的取值范围．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）若存在实数a使函数为R上的奇函数，则f（0）=0 a=﹣2
下面证明a=﹣2时 是奇函数
∵
对定义域R上的每一个x都成立，
∴f（x）为R上的奇函数．
∴存在实数a=﹣2，使函数f（x）为奇函数．
（Ⅱ） ， ，
由t（2x+1）f（x）＞2x﹣2对x∈R恒成立，得t（2x+2）＞2x﹣2，
∵当x∈R时，2x+2＞0，
∴ 对x∈R恒成立，
∵x∈R时，∴2x+2＞2，∴ ，
∴ ，
∴t≥1
【解析】（Ⅰ）若存在实数a使函数为R上的奇函数，则f（0）=0 a=﹣2，再用奇函数的定义证明；
， ，（Ⅱ）由t（2x+1）f（x）＞2x﹣2对x∈R恒成立，得t（2x+2）＞2x﹣2，
由于2x+2＞0，故 对x∈R恒成立，再求 的范围．
【考点精析】利用函数奇偶性的性质对题目进行判断即可得到答案，需要熟知在公共定义域内，偶函数的加减乘除仍为偶函数；奇函数的加减仍为奇函数；奇数个奇函数的乘除认为奇函数；偶数个奇函数的乘除为偶函数；一奇一偶的乘积是奇函数;复合函数的奇偶性：一个为偶就为偶，两个为奇才为奇．