Question

6．已知a，b∈R，且ab≠2，若矩阵M=$[\begin{array}{l}{1}&{a}\\{b}&{2}\end{array}]$所对应的变换T把直线l：x-y=3变换为自身．
（1）求实数a，b的取值；
（2）若向量$\overrightarrow{β}$=$[\begin{array}{l}{-1}\\{-2}\end{array}]$，求M¹⁰$\overrightarrow{β}$．

Answer 1

分析 （1）利用矩阵变换得到变换前后点的坐标关系，再代入到直线方程x-y-3=0中，得到关于a、b的等式，解方程组求出a，b的值，得到本题结论．
（2）先根据特征值的定义列出特征多项式f（λ），再令f（λ）=0解方程可得特征值，再由特征值列出方程组即可解得相应的特征向量．利用特征向量的性质计算，先利用特征向量表示向量β，后将求M¹⁰β的值的问题转化成求有关特征向量的计算问题．

解答 解：（1）设直线x-y-3=0上任意一点P（x，y）在变换T_A的作用下变成点P'（x'，y'），
∵$[\begin{array}{l}{1}&{a}\\{b}&{2}\end{array}]$$[\begin{array}{l}{x}\\{y}\end{array}]$=$[\begin{array}{l}{x′}\\{y′}\end{array}]$，∴$\left\{\begin{array}{l}{x′=x+ay}\\{y′=bx+2y}\end{array}\right.$，
∵P'（x'，y'）在直线x-y-3=0上，
∴x'-y'-3=0，
即（1-b）x+（a-2）y-3=0，
又∵P（x，y）在直线x-y-3=0上，
∴x-y-3=0． 
∴$\left\{\begin{array}{l}{1-b=1}\\{a-2=-1}\end{array}\right.$，
∴a=1，b=0．
（2）矩阵M的特征多项式为f（λ）=$|\begin{array}{l}{λ-1}&{-1}\\{0}&{λ-2}\end{array}|$=（λ-1）（λ-2）=0，
∴λ₁=1，λ₂=2，
设对应λ₁=1的特征向量为$\overrightarrow{{α}_{1}}$=$[\begin{array}{l}{x}\\{y}\end{array}]$，
由M$\overrightarrow{{α}_{1}}$=λ₁$\overrightarrow{{α}_{1}}$，得$\overrightarrow{{α}_{1}}$=$[\begin{array}{l}{1}\\{0}\end{array}]$
有M$\overrightarrow{{α}_{2}}$=λ₂$\overrightarrow{{α}_{2}}$，得$\overrightarrow{{α}_{2}}$=$[\begin{array}{l}{0}\\{1}\end{array}]$
由$\overrightarrow{β}$=-$\overrightarrow{{α}_{1}}$-2$\overrightarrow{{α}_{2}}$，得M¹⁰β=M¹⁰（-$\overrightarrow{{α}_{1}}$-2$\overrightarrow{{α}_{2}}$）=-$\overrightarrow{{α}_{1}}$-2•2¹⁰•$\overrightarrow{{α}_{2}}$=$[\begin{array}{l}{-1}\\{-2048}\end{array}]$．

点评 本题考查了矩阵变换与曲线方程的关系，考查了特征值与特征向量的计算以及利用特征向量求向量乘方的问题，注意解题方法的积累，属于中档题．