题目内容
8．如图1，矩形ABCD中，|AB|=6，|BC|=2，E，F，G，H分别是矩形四条边的中点，分别以HF、EG所在直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，已知$\overrightarrow{OR}$=λ$\overrightarrow{OF}$，$\overrightarrow{CR′}$=λ$\overrightarrow{CF}$，其中0＜λ＜1（1）求证：直线ER与GR′的交点M在椭圆Γ：$\frac{{x}^{2}}{9}$+y2=1上．
（2）如图2过点E作两条相互垂直的直线分别交椭圆Γ于点P，N（点P在y轴右侧）．求△EPN面积最大值及此时直线PE的方程．
分析 （1）求得F，C的坐标，由向量的关系的坐标表示可得R，R'的坐标，求出直线ER和GR'的方程，求得交点M，检验即可得证；
（2）由题意知直线PE，NE的斜率存在且不为0，PE⊥NE，不妨设直线PE的斜率为k（k＞0），则直线PE的方程为y=kx-1，联立直线方程和椭圆方程，可得P的坐标，同样可得N的坐标，由两点的距离公式和面积公式，化简整理，结合基本不等式计算即可得到最大值，进而得到所求直线方程．
解答 （1）证明：由已知，得F（3，0），C（3，1），
由$\overrightarrow{OR}$=λ$\overrightarrow{OF}$，$\overrightarrow{CR′}$=λ$\overrightarrow{CF}$，其中0＜λ＜1
得R（3λ，0），R′（3，1-λ），又E（0，-1），G（0，1），
则直线ER的方程为y=$\frac{1}{3λ}$x-1，直线GR′的方程为y=-$\frac{λ}{3}$x+1，
联立解得M（$\frac{6λ}{1+{λ}^{2}}$，$\frac{1-{λ}^{2}}{1+{λ}^{2}}$），
因为$\frac{1}{9}$（（$\frac{6λ}{1+{λ}^{2}}$）2+（$\frac{1-{λ}^{2}}{1+{λ}^{2}}$）2=$\frac{4{λ}^{2}}{（1+{λ}^{2}）^{2}}$+$\frac{1-2{λ}^{2}+{λ}^{4}}{（1+{λ}^{2}）^{2}}$=1，
所以直线ER与CR′的交点M在Γ：$\frac{{x}^{2}}{9}$+y2=1上；
（2）解：由题意知直线PE，NE的斜率存在且不为0，PE⊥NE，
不妨设直线PE的斜率为k（k＞0），则直线PE的方程为y=kx-1，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx-1}\\{{x}^{2}+9{y}^{2}=9}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{18k}{1+9{k}^{2}}}\\{y=\frac{9{k}^{2}-1}{9{k}^{2}+1}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=1}\end{array}\right.$，
所以P（$\frac{18k}{9{k}^{2}+1}$，$\frac{9{k}^{2}-1}{9{k}^{2}+1}$），
用-$\frac{1}{k}$代k得到N（$\frac{-18k}{9+{k}^{2}}$，$\frac{9-{k}^{2}}{9+{k}^{2}}$），
所以|PE|=$\frac{18k}{1+9{k}^{2}}$$\sqrt{1+{k}^{2}}$，|NE|=$\frac{18}{9+{k}^{2}}$$\sqrt{1+{k}^{2}}$，
S△EPN=$\frac{1}{2}$|PE|•|NE|=$\frac{1}{2}$•$\frac{18k}{1+9{k}^{2}}$$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\frac{18}{9+{k}^{2}}$$\sqrt{1+{k}^{2}}$
=$\frac{162k（1+{k}^{2}）}{（9+{k}^{2}）（1+9{k}^{2}）}$=$\frac{162（k+{k}^{3}）}{9{k}^{4}+82{k}^{2}+9}$=$\frac{162（k+\frac{1}{k}）}{9{k}^{2}+82+\frac{9}{{k}^{2}}}$
设u=k+$\frac{1}{k}$，$\frac{162u}{82+9（{u}^{2}-2）}$=$\frac{162}{9u+\frac{64}{u}}$≤$\frac{162}{2\sqrt{9u•\frac{64}{u}}}$=$\frac{27}{8}$
当且仅当k+$\frac{1}{k}$=u=$\frac{8}{3}$，
即k=$\frac{4±\sqrt{7}}{3}$，
故PE的直线方程为y=$\frac{4±\sqrt{7}}{3}$x-1．
点评 本题考查直线的交点的轨迹方程，考查直线和椭圆方程联立，求得交点，考查两点的距离公式和基本不等式的运用，考查化简整理的运算能力，属于中档题．
