Question

【题目】证明：a2+b2+c2=ab+bc+ca的充要条件是△ABC为等边三角形．这里a，b，c是△ABC的三条边．

Answer 1

【答案】证明：充分性： 如果△ABC为等边三角形，那么a=b=c，
所以，（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2=0，
所以，a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca=0，
所以a2+b2+c2=ab+bc+ca．
必要性：
如果a2+b2+c2=ab+bc+ca，那么a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca=0，
所以（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2=0，
所以a=b=0，b﹣c=0，c﹣a=0．
即 a=b=c
【解析】根据充要条件的定义，分别证明充分性和必要性成立即可．