Question

【题目】已知椭圆C:（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1（－，0）、F2（，0）.点M（1，0）与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直.

（1）求椭圆C的方程；

（2）已知点N的坐标为（3，2），点P的坐标为（m，n）（m≠3）.过点M任作直线l与椭圆C相交于A、B两点，设直线AN、NP、BN的斜率分别为k1、k2、k3，若k1＋k3＝2k2，试求m，n满足的关系式.

Answer 1

【答案】（1）；（2）m－n－1＝0

【解析】

试题（1）利用M与短轴端点构成等腰直角三角形，可求得b的值，进而得到椭圆方程；（2）设出过M的直线l的方程，将l与椭圆C联立，得到两交点坐标关系，然后将k1＋k3表示为直线l斜率的关系式，化简后得k1＋k3＝2，于是可得m，n的关系式.

试题解析：（1）由题意，c＝，b＝1，所以a＝

故椭圆C的方程为

（2）①当直线l的斜率不存在时，方程为x＝1，代入椭圆得，y＝±

不妨设A（1，），B（1，－）

因为k1＋k3＝＝2

又k1＋k3＝2k2，所以k2＝1

所以m，n的关系式为＝1，即m－n－1＝0

②当直线l的斜率存在时，设l的方程为y＝k（x－1）

将y＝k（x－1）代入，

整理得：（3k2＋1）x2－6k2x＋3k2－3＝0

设A（x1，y1），B（x2，y2），则

又y1＝k（x1－1），y2＝k（x2－1）

所以k1＋k3＝

＝

＝

＝

＝＝2

所以2k2＝2，所以k2＝＝1

所以m，n的关系式为m－n－1＝0

综上所述，m，n的关系式为m－n－1＝0.