Question

【题目】已知函数，.

（1）求曲线在点处的切线方程；

（2）求函数的单调区间；

（3）判断函数的零点个数.

Answer 1

【答案】（1）（2）答案见解析（3）答案见解析

【解析】

（1）设曲线在点，处的切线的斜率为，可求得，，利用直线的点斜式方程即可求得答案；

（2）由（Ⅰ）知，，分时，，三类讨论，即可求得各种情况下的的单调区间为；

（3）分与两类讨论，即可判断函数的零点个数．

（1），

，

设曲线在点，处的切线的斜率为，

则，

又，

曲线在点，处的切线方程为：，即；

（2）由（1）知，，

故当时，，所以在上单调递增；

当时，，；，，；

的递减区间为，递增区间为，；

当时，同理可得的递增区间为，递减区间为，；

综上所述，时，单调递增为，无递减区间；

当时，的递减区间为，递增区间为，；

当时，的递增区间为，递减区间为，；

（3）当时，恒成立，所以无零点；

当时，由，得：，只有一个零点．