题目内容
【题目】已知函数,
.
(1)讨论函数的单调性;
(2)当且
时,求证:
.
【答案】(1)见解析;(2)见解析.
【解析】
(1)求得,然后分
、
、
三种情况讨论,分析导数的符号变化,可得出函数
的单调递增区间和递减区间;
(2)将所证不等式变形为,设
,利用导数分析出函数
在区间
上单调递增,由
可证得结论.
(1)由题意,得.
①若,令
,得
;令
,得
.
故函数在
上单调递减,在
上单调递增;
②若,令
,得
;令
,得
.
故函数在
上单调递增,在
上单调递减;
③若,则
是常值函数,不存在单调性.
综上所述,当时,函数
的单调递减区间为
,单调递增区间为
;
当时,函数
的单调递增区间为
,单调递减区间为
;
当时,函数
不存在单调性;
(2)当时,
,则
即为
.
不等式两边同时除以,得
,得
.
记函数,则
.
设.
当时,
,所以函数
在
上单调递增.
所以当时,
.
所以,所以函数
在
上单调递增.
所以,即
.
故得证.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】近年来,国资委.党委高度重视扶贫开发工作,坚决贯彻落实中央扶贫工作重大决策部署,在各个贫困县全力推进定点扶贫各项工作,取得了积极成效,某贫困县为了响应国家精准扶贫的号召,特地承包了一块土地,已知土地的使用面积以及相应的管理时间的关系如下表所示:
土地使用面积 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
管理时间 | 8 | 10 | 13 | 25 | 24 |
并调查了某村300名村民参与管理的意愿,得到的部分数据如下表所示:
愿意参与管理 | 不愿意参与管理 | |
男性村民 | 150 | 50 |
女性村民 | 50 |
(1)求出相关系数的大小,并判断管理时间
与土地使用面积
是否线性相关?
(2)是否有99.9%的把握认为村民的性别与参与管理的意愿具有相关性?
(3)若以该村的村民的性别与参与管理意愿的情况估计贫困县的情况,则从该贫困县中任取3人,记取到不愿意参与管理的男性村民的人数为,求
的分布列及数学期望。
参考公式:
其中。临界值表:
0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 10.828 |
参考数据:
【题目】独立性检验中,假设:运动员受伤与不做热身运动没有关系.在上述假设成立的情况下,计算得
的观测值
.下列结论正确的是( )
附:
0.10 | 0.05 | 0.010 | 0.005 | |
2.706 | 3.841 | 6.635 | 7.879 |
A. 在犯错误的概率不超过0.01的前提下,认为运动员受伤与不做热身运动有关
B. 在犯错误的概率不超过0.01的前提下,认为运动员受伤与不做热身运动无关
C. 在犯错误的概率不超过0.005的前提下,认为运动员受伤与不做热身运动有关
D. 在犯错误的概率不超过0.005的前提下,认为运动员受伤与不做热身运动无关
【题目】近期中央电视台播出的《中国诗词大会》火遍全国,下面是组委会在选拔赛时随机抽取的100名选手的成绩,按成绩分组,得到的频率分布表如下所示.
题号 | 分组 | 频数 | 频率 |
第1组 | 0.100 | ||
第2组 | ① | ||
第3组 | 20 | ② | |
第4组 | 20 | 0.200 | |
第5组 | 10 | 0.100 | |
第6组 | 100 | 1.00 |
(1)请先求出频率分布表中①、②位置的相应数据,再完成如下的频率分布直方图;
(2)组委会决定在5名(其中第3组2名,第4组2名,第5组1名)选手中随机抽取2名选接受考官进行面试,求第4组至少有1名选手被考官
面试的概率.