题目内容

如图,在直角坐标系xoy中,AB是半圆O:x2+y2=1(y≥0)的直径,点C是半圆O上任一点,延长AC到点P,使CP=CB,当点C从点B运动到点A时,动点P的轨迹的长度是(  )
A.2πB.
2
π
C.πD.4
2
π

连结BP,根据题意可得△BCP是以C为直角顶点的等腰直角三角形.
∴∠APB=45°,即直线PA到PB的角为45°,
设P(x,y),可得kPA=
y
x+1
,kPB=
y
x-1

∴tan45°=
y
x-1
-
y
x+1
1+
y
x-1
y
x+1
=1,
化简得x2+(y-1)2=2.
∴点P的轨迹方程为x2+(y-1)2=2,
由已知y≥0可得kPA=
y
x+1
>0,
可知P点的轨迹是以(0,1)为圆心、半径r=
2
的半圆,
可得轨迹的长度是
1
2
×2πr=
2
π

故选:B
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