题目内容
设函数满足,且当时,.又函数,则函数在上的零点个数为 ( )
A.5 | B. 6 | C.7 | D.8 |
B
试题分析:因为,所以函数f(x)是奇函数,图像关于x=1对称且f(-x)=f(2-x),f(x)=f(2+x),函数周期为2.确定函数在上的零点,即求图象交点个数。
∵当x∈[0,1]时,f(x)=x³
∴当x∈[-1,0]]时,f(x)=-x³
∴[1, ]时,f(x)=f(x-2)=-(x-2)³
g(x)=|xcos(πx)|
g(-x)=g(x),g(x)是偶函数
[-,],
[1, ],
g(x)=-xcos(πx),
在同一坐标系内画出函数在上的简图,观察交点个数为6个。
∴h(x)=g(x)-f(x)在上的零点个数有6个。故选B。
点评:难题,这类题的一般解法是图象法。本题首先要明确函数的奇偶性、周期性,以便于作图。将问题转化成“求图象交点个数”是基础,正确画图是关键,本题函数g(x)=|xcos(πx)|作图较难,可定性地猜测。
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