题目内容
【题目】已知函数,
.
(Ⅰ)当x≥0时,f(x)≤h(x)恒成立,求a的取值范围;
(Ⅱ)当x<0时,研究函数F(x)=h(x)﹣g(x)的零点个数;
(Ⅲ)求证:(参考数据:ln1.1≈0.0953).
【答案】(1) a的取值范围为(﹣∞,1];(2)见解析.
【解析】
构造辅助函数,
,根据
的取值范围,求导,确定函数的单调性,根据函数的单调性求出
的最小值,即可得到
的取值范围
当
在
上变化时,讨论函数
和
的图象公共点的个数,即讨论
的零点的个数,分类讨论,确定函数的单调性,即可得出结论
由
可知当
时,
,对
恒成立,令
,
,则
,即可得证
(Ⅰ)令H(x)=h(x)﹣f(x)=ex﹣1﹣aln(x+1)(x≥0)
则
①若a≤1,则,H'(x)≥0,H(x)在[0,+∞)递增,
H(x)≥H(0)=0,
即f(x)≤h(x)在[0,+∞)恒成立,满足,a≤1,
a的取值范围(﹣∞,1];
②若a>1,在[0,+∞)递增,
H'(x)≥H'(0)=1﹣a且1﹣a<0,
且x→+∞时,H'(x)→+∞,
则x0∈(0,+∞)使H'(x0)=0进而H(x)在[0,x0)递减,在(x0,+∞)递增,
所以当x∈(0,x0)时H(x)<H(0)=0,
即当x∈(0,x0)时,f(x)>h(x),不满足题意,舍去;
综合①,②知a的取值范围为(﹣∞,1];
(Ⅱ)依题意得,则F'(x)=ex﹣x2+a,
则F'(x)=ex﹣2x>0在(﹣∞,0)上恒成立,故F'(x)=ex﹣x2+a在(﹣∞,0)递增,
所以F'(x)<F'(0)=1+a,且x→﹣∞时,F'(x)→﹣∞;
①若1+a≤0,即a≤﹣1,则F'(x)<F'(0)=1+a≤0,故F(x)在(﹣∞,0)递减,
∴F(x)>F(0)=0,F(x)在(﹣∞,0)无零点;
②若1+a>0,即a>﹣1,则使
,
进而F(x)在递减,在
递增,
且x→﹣∞时,
,
F(x)在上有一个零点,在
无零点,
故F(x)在(﹣∞,0)有一个零点.
综合①②,当a≤﹣1时无零点;当a>1时有一个公共点.
(Ⅲ)证明:由(Ⅰ)知,当a=1时,ex>1+ln(x+1)对x>0恒成立,
令,则
即
;
由(Ⅱ)知,当a=﹣1时,对x<0恒成立,
令,则
,
∴;
故有.
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