题目内容
【题目】对于无穷数列,若正整数
,使得当
时,有
,则称
为“
不减数列”.
(1)设,
均为正整数,且
,甲:
为“
不减数列”,乙:
为“
不减数列”.试判断命题:“甲是乙的充分条件”的真假,并说明理由;
(2)已知函数与函数
的图象关于直线
对称,数列
满足
,
,如果
为“
不减数列”,试求
的最小值;
(3)对于(2)中的,设
,且
.是否存在实数
使得
为“
不减数列”?若存在,求出
的取值范围;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)假,理由见解析;(2)2;(3)
【解析】
(1)根据“不减数列”定义直接判断充要关系,即得结果;
(2)先求,再探求
的最小值,最后利用作差法证明;
(3)先结合(2)化简,
,再根据新定义得不等式,并参变分离,根据奇偶性分类讨论,结合数列单调性求最值,即得结果.
(1)对于甲:为“
不减数列”
,
对于乙:为“
不减数列”
,
∵设,
均为正整数,且
,
∴乙甲,显然甲
乙,
因此,甲是乙的必要条件,从而“甲是乙的充分条件”是假命题.
(2)∵函数与函数
的图象关于直线
对称,
∴函数为函数
的反函数,且
.
由,得
.
由得
,
假设,则
,
即当时,
.
于是,即
.
亦即:数列,且
,
因此,的最小值为2.
(3)假设存在实数使得
为“
不减数列”.
∵,∴
是单调递增数列
.
∵,且
,
∴,
又,故当
时,
,即
.
若为大于或等于4的偶数,则有
恒成立,
注意到数列关于
递减,
所以,,即
;
若为大于或等于3的奇数,则有
恒成立,
注意到数列关于
递增,
所以,,即
;
又当时,
由,得
.
综上所述,存在实数,且
,
使得为“
不减数列”,
即所求的取值范围是
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】某快递公司收取快递费用的标准是:重量不超过的包裹收费
元;重量超过
的包裹,除
收费
元之外,超过
的部分,每超出
(不足
,按
计算)需再收
元.该公司将最近承揽的
件包裹的重量统计如下:
包裹重量(单位: | |||||
包裹件数 |
公司对近天,每天揽件数量统计如下表:
包裹件数范围 | |||||
包裹件数 (近似处理) | |||||
天数 |
以上数据已做近似处理,并将频率视为概率.
(1)计算该公司未来天内恰有
天揽件数在
之间的概率;
(2)(i)估计该公司对每件包裹收取的快递费的平均值;
(ii)公司将快递费的三分之一作为前台工作人员的工资和公司利润,剩余的用作其他费用.目前前台有工作人员人,每人每天揽件不超过
件,工资
元.公司正在考虑是否将前台工作人员裁减
人,试计算裁员前后公司每日利润的数学期望,并判断裁员是否对提高公司利润更有利?