Question

10．已知a∈R，函数f（x）=e^x+ax²-x．
（1）当a=0，求函数f（x）的极值；
（2）设函数f（x）在点P（t，f（t））（0＜t＜1）处的切线为l，若点Q（0，m）在直线l上，求m的值．（用a，t表示）；
（3）在（2）的条件下，若m＜1恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出导数，求得单调区间，可得极值；
（2）求出导数，求得切线的斜率，再由两点的斜率公式，计算即可得到；
（3）由题意可得（1-t）e^t-at²＜1，令g（t）=（1-t）e^t-at²，（0＜t＜1），由g（0）=1，当g（t）在（0，1）递增，即有m＜1恒成立，求出g（t）的导数，运用恒成立思想即可得到a的范围．

解答 解：（1）f（x）=e^x-x的导数为f′（x）=e^x-1，
当x＞1时，f′（x）＞0，f（x）递增；
当x＜1时，f′（x）＜0，f（x）递减．
即有x=0处取得极小值，且为1，无极大值；
（2）函数f（x）=e^x+ax²-x的导数为f′（x）=e^x+2ax-1，
在点P（t，f（t））（0＜t＜1）处的切线斜率为e^t+2at-1，
由两点的斜率公式，可得e^t+2at-1=$\frac{{e}^{t}+a{t}^{2}-t-m}{t}$，
解得m=（1-t）e^t-at²，（0＜t＜1）；
（3）若m＜1恒成立，即为（1-t）e^t-at²＜1，
令g（t）=（1-t）e^t-at²，（0＜t＜1），
由g（0）=1，
当g（t）在（0，1）递增，即有m＜1恒成立，
则g′（t）≥0在（0，1）恒成立．
即有-te^t-2at≥0即有-2a≥e^t，
即为-2a≥e，
解得a≤-$\frac{1}{2}$e．
则a的取值范围是（-∞，-$\frac{1}{2}$e]．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间、极值，考查直线的斜率公式和不等式恒成立问题的解法，运用单调性和构造函数是解题的关键．