题目内容
1.已知函数f(x)是定义R+的减函数,有f($\frac{1}{2}$)=1,对任意的x,y∈R*,都有f(xy)=f(x)+f(y).(1)求f(1),f(2)的值;
(2)解不等式:f(2)+f(5-x)≥-2.
分析 (1)令x=y=1,即可求得f(1)的值;再令x=$\frac{1}{2}$,y=2,利用f(1)的值,即可求得f(2)的值;
(2)由题意可得f(4)=-2,则原不等式可化为:f[2(5-x)]≥f(4),结合函数的定义域和单调性,可解不等式.
解答 解:(1)∵任意的x,y∈R*,都有f(xy)=f(x)+f(y).
令x=y=1,则f(1)=f(1)+f(1),
解得f(1)=0;
又f($\frac{1}{2}$)=1,令x=$\frac{1}{2}$,y=2,则f(1)=f($\frac{1}{2}$)+f(2)=0,
∴f(2)=-1;
(2)∵函数f(x)是定义在(0,+∞)上的减函数,f(xy)=f(x)+f(y),
f(2)=-1,令x=y=2,则f(4)=2f(2)=-2,
f(2)+f(5-x)≥-2可化为:f[2(5-x)]≥f(4),
∴$\left\{\begin{array}{l}5-x>0\\ 2(5-x)≤4\end{array}\right.$,
解得:x∈[3,5).
∴原不等式的解集为:[3,5)
点评 本题考查抽象函数及其应用,着重考查赋值法与函数单调性的应用,考查解不等式组的能力,属于中档题.
练习册系列答案
相关题目
11.函数f(x)=$\sqrt{3-|x|}$+lg$\frac{{x}^{2}-3x+2}{x-2}$的定义域为( )
A. | (1,2) | B. | (1,3] | C. | (1,2)∪(2,3] | D. | (-1,2)∪(2,3] |
16.已知球O的直径长为12,当它的内接正四棱锥的体积最大时,该四棱锥的底面边长为( )
A. | 4 | B. | 6 | C. | 8 | D. | 12 |
13.定义在R的函数f(x)满足f(x)f(x+2)=5,f(1)=3,则f(11)=( )
A. | $\frac{5}{2}$ | B. | $\frac{3}{5}$ | C. | $\frac{5}{3}$ | D. | $\frac{2}{5}$ |