题目内容
【题目】已知抛物线C; y2 =2x的焦点为F,准线为l, P为抛物线C上异于顶点的动点.
(1)过点P作准线1的垂线,垂足为H,若△PHF与△POF的面积之比为2:1,求点P的坐标;
(2)过点M(,0)任作一条直线 m与抛物线C交于不同的两点A, B.若两直线PA, PB 斜率之和为2,求点P的坐标.
【答案】(1);(2)
【解析】
(1)求得抛物线的焦点和准线,设,
,由三角形的面积公式可得
,解方程可得
,进而可得
的坐标;
(2)设直线的方程为
,
,联立抛物线的方程,消去
,可得
的二次方程,设
,
,
,
,运用韦达定理和判别式大于0,再由直线的斜率公式,化简整理可得
,
的方程,由恒成立思想可得
,进而得到所求
的坐标,
解:(1)抛物线的焦点为
,
,准线为
,
设,
,由
,可得
,
由,与
的面积之比为
,可得
,
即为,解得
,则
的坐标为
,
;
(2)设直线的方程为
,
,联立抛物线方程可得
,
由△,即
,
,设
,
,
,
,
可得,
,
则,
化为,
即,可得
对满足条件的
恒成立,
可得,则
的坐标为
,
.

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