题目内容
【题目】已知函数为定义在
上的偶函数,当
时,
.
(1)当时,求函数
的单调区间;
(2)若函数有两个零点:求实数
的取值范围.
【答案】(1)的单调递减区间为
,
,单调递增区间为
;(2)
或
【解析】
根据题意求出函数
在
上的单调区间,再利用偶函数在对称区间上单调性相反求出函数
在区间
上的单调区间即可;
由函数
为定义在
上的偶函数,只需方程
在
上有一个根即可,分三种情况
,
,
分别求出
时,函数
的解析式,利用函数的单调性求出其值域,进而求出实数
的取值范围即可.
(1)由题意可得,当,
时,
,
令,即
,解得
,
当时,
,所以
,
因为函数 在
上单调递减,
所以函数在
上单调递减;
当时,
,所以
,
因为函数 在
上单调递减,
所以函数在
上单调递增,
所以函数在
上单调递增;
因为函数为定义在
上的偶函数,
由偶函数在对称区间上单调性相反可得,
函数在
上单调递增,在
上单调递减,
故函数单调递减区间为
,
,单调递增区间为
.
(2)由题可得,函数有两个零点,
即方程有两个不同根,
因为为定义在
上的偶函数,其图象关于
轴对称,
故方程在
上有一个根即可.
当时,则
,因为
,
所以当时,
,
所以在
上有一个根,
由于在
上单调递减,
,
所以,即
,
故实数的取值范围为
;
当时,令
,解得
,
因为函数为
上的减函数,
所以当时,
,
所以函数为
上的减函数,
所以,
当时,
,
所以函数为
上的增函数,
所以,
要使方程在
上有一个根,
只需或
,解得
或
,
故实数的取值范围为
或
;
当,
时,因为
,所以
,
所以函数,
因为函数在
上单调递减,
所以函数在
上单调递增,
因为,所以
,
即,
故只需,即
,
故实数的取值范围为
.
综上可得,实数的取值范围为
或
.
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