Question

【题目】已知抛物线E∶y2＝2px(p>0)的焦点为F，过F且斜率为1的直线交E于A，B两点，线段AB的中点为M，其垂直平分线交x轴于点C，MN⊥y轴于点N.若四边形CMNF的面积等于7，则E的方程为(　　 )

A.y2＝xB.y2＝2x

C.y2＝4xD.y2＝8x

Answer 1

【答案】C

【解析】

联立方程组求出各点的坐标，根据四边形CMNF的面积等于，求得的值，即可得到抛物线的方程，得到答案．

由题意知F，则直线AB的方程为y＝x－.如图，四边形CMNF为梯形，且MN∥FC，

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得y2－2py－p2＝0，所以y1＋y2＝2p，

所以x1＋x2＝y1＋y2＋p＝3p，所以xM＝＝，yM＝＝p，

因为MC⊥AB，所以kMC＝－1，

所以直线MC的方程为y－p＝－，即y＝－x＋，所以xC＝，

所以四边形CMNF的面积为(xM＋|FC|)·yM＝·p＝7，得p＝2，

所以抛物线E的方程为y2＝4x，

故选：C.