题目内容
【题目】已知抛物线E∶y2=2px(p>0)的焦点为F,过F且斜率为1的直线交E于A,B两点,线段AB的中点为M,其垂直平分线交x轴于点C,MN⊥y轴于点N.若四边形CMNF的面积等于7,则E的方程为( )
A.y2=xB.y2=2x
C.y2=4xD.y2=8x
【答案】C
【解析】
联立方程组求出各点的坐标,根据四边形CMNF的面积等于,求得的值,即可得到抛物线的方程,得到答案.
由题意知F,则直线AB的方程为y=x-.如图,四边形CMNF为梯形,且MN∥FC,
设A(x1,y1),B(x2,y2),由得y2-2py-p2=0,所以y1+y2=2p,
所以x1+x2=y1+y2+p=3p,所以xM==,yM==p,
因为MC⊥AB,所以kMC=-1,
所以直线MC的方程为y-p=-,即y=-x+,所以xC=,
所以四边形CMNF的面积为(xM+|FC|)·yM=·p=7,得p=2,
所以抛物线E的方程为y2=4x,
故选:C.
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