题目内容

【题目】已知抛物线Ey22px(p>0)的焦点为F,过F且斜率为1的直线交EAB两点,线段AB的中点为M,其垂直平分线交x轴于点CMNy轴于点N.若四边形CMNF的面积等于7,则E的方程为(   )

A.y2xB.y22x

C.y24xD.y28x

【答案】C

【解析】

联立方程组求出各点的坐标,根据四边形CMNF的面积等于,求得的值,即可得到抛物线的方程,得到答案.

由题意知F,则直线AB的方程为yx.如图,四边形CMNF为梯形,且MNFC

A(x1y1)B(x2y2),由y22pyp20,所以y1y22p

所以x1x2y1y2p3p,所以xMyMp

因为MCAB,所以kMC=-1

所以直线MC的方程为yp=-,即y=-x,所以xC

所以四边形CMNF的面积为(xM|FC|)·yM·p7,得p2

所以抛物线E的方程为y24x

故选:C.

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