题目内容

8.在△ABC中,cosB=$\frac{\sqrt{6}}{3}$,cosC=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$,且△ABC的面积为$\sqrt{2}$.
(1)求AB边的长;
(2)若D为边BC上一点,且AD平分∠BAC,求BD的长.

分析 (1)由条件可得sinB和sinC的值,设BC边上的高AE=h,则AB=$\sqrt{3}$h,AC=3h,BC=BE+EC=$\sqrt{2}$h+2$\sqrt{2}$h.再根据△ABC的面积为 $\frac{1}{2}$BC•AE=$\sqrt{2}$,求得h的值,可得AB 的值.
(2)由条件利用内角平分线的性质,求得BD的值.

解答 解:(1)△ABC中,cosB=$\frac{\sqrt{6}}{3}$,cosC=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$,∴sinB=$\frac{\sqrt{3}}{3}$,sinC=$\frac{1}{3}$,设BC边上的高AE=h,
则AB=$\sqrt{3}$h,AC=3h,BC=BE+EC=$\sqrt{2}$h+2$\sqrt{2}$h.
再根据△ABC的面积为 $\frac{1}{2}$BC•AE=($\sqrt{2}$h+2$\sqrt{2}$h)•h=$\sqrt{2}$,求得h=$\frac{\sqrt{6}}{3}$.
∴AB=$\sqrt{3}$h=$\sqrt{2}$.
(2)若D为边BC上一点,且AD平分∠BAC,则由内角平分线的性质可得$\frac{AB}{AC}$=$\frac{BD}{DC}$,
即 $\frac{\sqrt{3}•h}{3h}$=$\frac{BD}{3\sqrt{2}h-BD}$,求得BD=$\frac{3\sqrt{6}•h}{3+\sqrt{3}}$=3-$\sqrt{3}$.

点评 本题主要考查直角三角形中的边角关系,内角平分线的性质,属于中档题.

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