Question

9．函数f（x）是这样定义的：对于任意整数m，当实数x满足不等式|x-m|＜$\frac{1}{2}$时，有f（x）=m．
（1）求函数f（x）的定义域D，并画出它在x∈D∩[0，3]上的图象；
（2）若数列a_n=2+10•（$\frac{2}{5}$）ⁿ，记S_n=f（a₁）+f（a₂）+f（a₃）+…+f（a_n），求S_n．

Answer 1

分析 （1）利用绝对值不等式的解法，解|x-m|＜$\frac{1}{2}$，可得定义域，并画出图象．
（2）分别求出f（a₁），f（a₂），f（a₃），…，f（a_n），考查数列{f（a_{n ^）}} 的性质，再求和．

解答 解：（1）函数f（x）的定义域是D={x||x-m|＜$\frac{1}{2}$}
={x|m-$\frac{1}{2}$＜x＜m+$\frac{1}{2}$，m∈Z}
图象如图所示，
（2）由于a_n=2+10•（$\frac{2}{5}$）ⁿ，
所以f（a_n）=$\left\{\begin{array}{l}{6，n=1}\\{4，n=2}\\{3，n=3}\\{2，n≥4}\end{array}\right.$，
当n=1时，S₁=6，
n=2时，S₂=f（a₁）+f（a₂）=6+4=10，
n=3时，S₃=f（a₁）+f（a₂）+f（a₃）=6+4+3=13，
n＞3时，S_n=6+4+3+2（n-3）=2n+7，
因此S_n=$\left\{\begin{array}{l}{6，n=1}\\{10，n=2}\\{2n+7，n≥3}\end{array}\right.$．

点评 本题考查阅读理解、计算、分类讨论思想和能力．正确理解新定义，将问题转化成已有的知识，用已有的方法解决此类问题共同的策略．