题目内容
【题目】如图,在四棱锥中,底面
是正方形,且
,平面
平面
,
,点
为线段
的中点,点
是线段
上的一个动点.
(Ⅰ)求证:平面平面
;
(Ⅱ)当点是线段
上的中点时,求二面角
的平面角的余弦值.
【答案】(Ⅰ)证明见解析;(Ⅱ)
【解析】
(Ⅰ)推导出和
即可证明
平面
,再利用面面垂直判定即可
(Ⅱ)以,
,
所在直线分别为
轴,建立如图所示空间直角坐标系
,求得两个平面的法向量,再利用二面角向量公式求解
(Ⅰ)证明:∵四边形是正方形,∴
.
∵平面平面
平面
平面
,∴
平面
.
∵平面
,∴
.
∵,点
为线段
的中点,∴
.
又∵,∴
平面
.
又∵平面
,∴平面
平面
.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知平面
,
∵,∴
平面
.
∴,
又
,
∴,
,
两两垂直,以
为原点,
以,
,
所在直线分别为
轴,建立如图所示空间直角坐标系
.
因为,∵
.
,
,
,
又为
的中点,
,
为
的中点,
,
,
设平面的法向量为
,则
,
∴,令
,则
,
∴,则
,
∵平面
,∴平面
的一个法向量
,
.
由图知二面角的平面角为锐角,则二面角
的平面角的余弦值为
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
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