题目内容
【题目】过
轴上动点
引抛物线
的两条切线
，
，其中
，
为切线.
（1）若切线，的斜率分别为
和
，求证：
为定值，并求出定值；
（2）当
最小时，求
的值.
【答案】（1）证明见解析，
为定值-4（2）
【解析】
（1）联立
，得
，则
，
是方程
的解，故
，即为定值
.
（2）要使
最小，就是使得
到直线
的距离最小，首先求出直线的方程，利用点到直线公式和基本不等式得到：到直线的距离最小值时
，再联立
得到
，
，
，带入
即可.
（1）设过
与抛物线
相切的直线的斜率是
，
则该切线方程为：
.
由，得.
∴
.
则，是方程的解，
故，即为定值.
（2）要使最小，就是使得到直线的距离最小.
设
，
，由题知：
，
.
故切线
的方程为：
.
则
，
整理得：
.同理得：
.
所以
.
直线的方程为
.
设到直线的距离为
，则
当且仅当
即时取等号
由得
则，
∴
.
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