题目内容
【题目】已知椭圆C:的离心率
,椭圆C上的点到其左焦点的最大距离为
.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)过点A作直线
与椭圆相交于点B,则
轴上是否存在点P,使得线段
,且
?若存在,求出点P坐标;否则请说明理由.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)见解析.
【解析】
(Ⅰ)由椭圆C上的点到其左焦点的最大值为,可得
,结合离心率解方程组即可得解;
(Ⅱ)先讨论直线的斜率
时,可得P,讨论直线
的斜率不为0时,设为直线
的方程为:
,与椭圆联立得点B,进而得AB的中垂线方程,令
可得点P,再由
求解方程即可.
(Ⅰ)由题可知,故设
则
又∵椭圆C上的点到其左焦点的最大值为
∴可判定那一点的坐标为
∴
∴
∴a=2,
∴
∴椭圆C的方程为
(Ⅱ)由,可知点P在线段AB的中垂线上,由题意知直线
的斜率显然存在设为
.
当直线的斜率
时,则B(2,0).设
.
由,解得
,又
.
当直线的斜率不为0时,设为直线
的方程为:
.
联立得:
.
有:,解得
,即
.
AB的中点为,
线段AB的中垂线为:,令
,得
.
即.
.解得
,此时
.
综上可得或
.
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