Question

10．已知向量$\overrightarrow{m}$=（sinx，-1），$\overrightarrow{n}$=（cosx，$\frac{3}{2}$），f（x）=（$\overrightarrow{m}$+$\overrightarrow{n}$）•$\overrightarrow{m}$．
（1）求y=f（x）的周期；
（2）当x∈[0，$\frac{π}{2}$]时，求函数y=f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）利用平面向量的数量积运算法则化简f（x）解析式，找出ω的值，代入周期公式即可求出f（x）的最小正周期
（2）根据正弦函数图象和性质即可求出最值．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{m}$=（sinx，-1），$\overrightarrow{n}$=（cosx，$\frac{3}{2}$），
∴f（x）=（$\overrightarrow{m}$+$\overrightarrow{n}$）•$\overrightarrow{m}$=（sinx+cosx，$\frac{1}{2}$）•（sinx，-1）=sin²x+sinxcos-$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$（1-cos2x）+$\frac{1}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$（sin2x-cos2x）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$），
∴T=$\frac{2π}{2}$=π，
（2）∵x∈[0，$\frac{π}{2}$]，
∴2x-$\frac{π}{4}$∈[-$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$]，
当2x-$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{2}$时，即x=$\frac{3π}{8}$，f（x）有最大值，最大值为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
当2x-$\frac{π}{4}$=-$\frac{π}{4}$时，即x=0，f（x）有最小值，最小值为-$\frac{1}{2}$，
∴函数y=f（x）的值域为[-$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$]．

点评 此题考查了两角和与差的正弦函数公式，平面向量的数量积运算，二倍角的余弦函数公式，正弦函数的单调性，以及三角函数的周期性及其求法，熟练掌握公式是解本题的关键．