题目内容
【题目】已知函数,
为
的导数,函数
在
处取得最小值.
(1)求证:;
(2)若时,
恒成立,求
的取值范围.
【答案】(1)见解析; (2).
【解析】
(1)对求导,令
,求导研究单调性,分析可得存在
使得
,即
,即得证;
(2)分,
两种情况讨论,当
时,转化
利用均值不等式即得证;当
,
有两个不同的零点
,
,分析可得
的最小值为
,分
,
讨论即得解.
(1)由题意,
令,则
,知
为
的增函数,
因为,
,
所以,存在使得
,即
.
所以,当时
,
为减函数,
当时
,
为增函数,
故当时,
取得最小值,也就是
取得最小值.
故,于是有
,即
,
所以有,证毕.
(2)由(1)知,的最小值为
,
①当,即
时,
为
的增函数,
所以,
,
由(1)中,得
,即
.
故满足题意.
②当,即
时,
有两个不同的零点
,
,
且,即
,
若时
,
为减函数,(*)
若时
,
为增函数,
所以的最小值为
.
注意到时,
,且此时
,
(ⅰ)当时,
,
所以,即
,
又
,
而,所以
,即
.
由于在下,恒有
,所以
.
(ⅱ)当时,
,
所以,
所以由(*)知时,
为减函数,
所以,不满足
时,
恒成立,故舍去.
故满足条件.
综上所述:的取值范围是
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】随着科学技术的飞速发展,网络也已经逐渐融入了人们的日常生活,网购作为一种新的消费方式,因其具有快捷、商品种类齐全、性价比高等优势而深受广大消费者认可.某网购公司统计了近五年在本公司网购的人数,得到如下的相关数据(其中“x=1”表示2015年,“x=2”表示2016年,依次类推;y表示人数):
x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
y(万人) | 20 | 50 | 100 | 150 | 180 |
(1)试根据表中的数据,求出y关于x的线性回归方程,并预测到哪一年该公司的网购人数能超过300万人;
(2)该公司为了吸引网购者,特别推出“玩网络游戏,送免费购物券”活动,网购者可根据抛掷骰子的结果,操控微型遥控车在方格图上行进. 若遥控车最终停在“胜利大本营”,则网购者可获得免费购物券500元;若遥控车最终停在“失败大本营”,则网购者可获得免费购物券200元. 已知骰子出现奇数与偶数的概率都是,方格图上标有第0格、第1格、第2格、…、第20格。遥控车开始在第0格,网购者每抛掷一次骰子,遥控车向前移动一次.若掷出奇数,遥控车向前移动一格(从
到
)若掷出偶数遥控车向前移动两格(从
到
),直到遥控车移到第19格胜利大本营)或第20格(失败大本营)时,游戏结束。设遥控车移到第
格的概率为
,试证明
是等比数列,并求网购者参与游戏一次获得免费购物券金额的期望值.
附:在线性回归方程中,
.