题目内容

【题目】1)当时,不等式恒成立,求实数的取值范围;

2)已知函数,如果函数有两个极值点,求证:.(参考数据:为自然对数的底数)

【答案】1;(2)证明见解析.

【解析】

1)构造函数,其中,可得,求出函数的导数,构造函数,分两种情况讨论,结合可求出实数的取值范围;

2)由题意得出,变形得,利用基本不等式得出,然后构造函数,利用导数分析函数的单调性,证明出,结合单调性可得出.

1)令,其中,且有

,则.

①当时,即当时,对任意的,即

所以,函数在区间上为增函数,当时,,合乎题意;

②当时,则.

i)当时,对任意的,即

所以,函数在区间上为增函数,当时,,合乎题意;

ii)当时,设函数的两个极值点分别为,设

由韦达定理得,则必有

时,,当时,.

所以,,不合乎题意.

综上所述,实数的取值范围是

2)若

有两个不同的零点.

由题意,相加有,①

相减有,从而

代入①有

不妨设,则,由(1)有.

所以,即

,则单调递增,

,因此.

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