题目内容
【题目】(1)当时,不等式
恒成立,求实数
的取值范围;
(2)已知函数,
,如果函数
有两个极值点
、
,求证:
.(参考数据:
,
,
,
为自然对数的底数)
【答案】(1);(2)证明见解析.
【解析】
(1)构造函数,其中
,可得
,求出函数
的导数
,构造函数
,分
和
两种情况讨论,结合
可求出实数
的取值范围;
(2)由题意得出,变形得
,利用基本不等式得出
,然后构造函数
,利用导数分析函数
的单调性,证明出
,结合单调性可得出
.
(1)令,其中
,且有
,
,
令,则
.
①当时,即当
时,对任意的
,
,即
,
所以,函数在区间
上为增函数,当
时,
,合乎题意;
②当时,则
或
.
(i)当时,对任意的
,
,即
,
所以,函数在区间
上为增函数,当
时,
,合乎题意;
(ii)当时,设函数
的两个极值点分别为
、
,设
,
由韦达定理得,则必有
,
当时,
,当
时,
.
所以,,不合乎题意.
综上所述,实数的取值范围是
;
(2)若,
则有两个不同的零点
、
.
由题意,相加有
,①
相减有,从而
,
代入①有,
即,
不妨设,则
,由(1)有
.
又,
所以,即
,
设,则
,
在
单调递增,
又,
,
,因此
.
![](http://thumb.zyjl.cn/images/loading.gif)
【题目】世界卫生组织的最新研究报告显示,目前中国近视患者人数多达6亿,高中生和大学生的近视率均已超过七成,为了研究每周累计户外暴露时间(单位:小时)与近视发病率的关系,对某中学一年级200名学生进行不记名问卷调查,得到如下数据:
每周累积户外暴露时间(单位:小时) | 不少于28小时 | ||||
近视人数 | 21 | 39 | 37 | 2 | 1 |
不近视人数 | 3 | 37 | 52 | 5 | 3 |
(1)在每周累计户外暴露时间不少于28小时的4名学生中,随机抽取2名,求其中恰有一名学生不近视的概率;
(2)若每周累计户外暴露时间少于14个小时被认证为“不足够的户外暴露时间”,根据以上数据完成如下列联表,并根据(2)中的列联表判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为不足够的户外暴露时间与近视有关系?
近视 | 不近视 | |
足够的户外暴露时间 | ||
不足够的户外暴露时间 |
附:
P | 0.050 | 0.010 | 0.001 |
3.841 | 6.635 | 10.828 |