题目内容
【题目】如图，
是一个三棱锥，
是圆的直径，
是圆上的点，
垂直圆所在的平面，
，
分别是棱
，的中点.
（1）求证：
平面
；
（2）若二面角
是
，
，求
与平面
所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）
.
【解析】
（1）可证
，
，再利用
可得
，
，从而可证
平面
.
（2）可证
为二面角
的平面角，再以
为坐标原点，
，
，
方向分别为
轴，
轴，
轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系
. 求出平面
的法向量和直线
的方向向量后可求与平面所成角的正弦值.
（1）因为
是圆的直径，所以.
因为
垂直圆所在的平面，且
在该平面中，所以.
因为
，
分别是棱
，的中点，
所以，所以，
又因为
，所以有平面.
（2）由（1）可知，
，
，
所以为二面角的平面角，
从而有
，则
.
又，
，得
.
以为坐标原点，，，方向分别为轴，轴，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.
则
，
，
，
，
，
，
，
，
.
设
是平面的法向量，则
即
可取
.
故
.
所以直线与平面所成角的正弦值为.
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