题目内容
【题目】如图,是一个三棱锥,
是圆的直径,
是圆上的点,
垂直圆所在的平面,
,
分别是棱
,
的中点.
(1)求证:平面
;
(2)若二面角是
,
,求
与平面
所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析;(2).
【解析】
(1)可证,
,再利用
可得
,
,从而可证
平面
.
(2)可证为二面角
的平面角,再以
为坐标原点,
,
,
方向分别为
轴,
轴,
轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系
. 求出平面
的法向量和直线
的方向向量后可求
与平面
所成角的正弦值.
(1)因为是圆的直径,所以
.
因为垂直圆所在的平面,且
在该平面中,所以
.
因为,
分别是棱
,
的中点,
所以,所以
,
又因为,所以有
平面
.
(2)由(1)可知,,
,
所以为二面角
的平面角,
从而有,则
.
又,
,得
.
以为坐标原点,
,
,
方向分别为
轴,
轴,
轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系
.
则,
,
,
,
,
,
,
,
.
设是平面
的法向量,则
即可取
.
故.
所以直线与平面
所成角的正弦值为
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
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