题目内容
【题目】已知函数.
(1)讨论的单调性;
(2)当时,,求的取值范围.
【答案】(1)答案见解析;(2).
【解析】
(1)先求函数的定义域,再利用导数对函数进行求导,对参数分和两种情况讨论后,得到函数的单调区间;
(2)先证当不等式在不会成立,再进一步证明时,在单调递减,在单调递增.再对分和两种情况,研究各自的最小值大于等于,从而求得的取值范围.
(1)函数的定义域为,
,
当时,,则,故在单调递减;
当时,令,得;令,得,
故在上单调递减,在单调递增.
综上,可得当时,在单调递减;
当时,在单调递减,在单调递增.
(2)①当时,因为,所以不符合题意;
②当时,由(1),知在单调递减,在单调递增.
(ⅰ)当即时,,所以在单调递增,
故,故满足题意.
(ⅱ)当即时,在单调递减,在单调递增,
故,
当时,,当且仅当,
令,则,故在单调递减,
又,从而由即,可得,解得,
综上,可得的取值范围为.
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