题目内容
【题目】已知抛物线:
过点
,
为其焦点,过
且不垂直于
轴的直线
交抛物线
于
,
两点,动点
满足
的垂心为原点
.
(1)求抛物线的方程;
(2)求证:动点在定直线
上,并求
的最小值.
【答案】(1)(2)证明见解析,
的最小值为
【解析】
(1)直接将代入抛物线方程即可得到答案;
(2)设直线方程为,联立方程,表示出
,运用基本不等式即可得到结论.
(1)由题意,将点代入
,
即,解得
,
所以,抛物线的方程为
.
(2)解析1:(巧设直线)
证明:设:
,
,
,联立
,可得
,则有
,可设
:
,即
,同理
:
,解得
,即动点
在定直线
:
上.
,当且仅当
时取等号.其中
,
分别为点
和点
到直线
的距离.
(2)解析2:(利用向量以及同构式)
证明:设:
,
,
,联立
,可得
,则有
.
,
,又
为
的垂心,从而
,代入化简得:
,同理:
,从而可知,
,
是方程
的两根,所以
,所以动点
在定直线
:
上.
,当且仅当
时取等号.其中
,
分别为点
和点
到直线
的距离.
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