题目内容
【题目】已知为常数,
,函数
,
(其中
是自然对数的底数).
(1)过坐标原点作曲线
的切线,设切点为
,求证:
;
(2)令,若函数
在区间
上是单调函数,求
的取值范围.
【答案】(1) ;(2)
.
【解析】试题分析:(1)先对函数求导, ,可得切线的斜率
,即
,由
是方程的解,且
在
上是增函数,可证;(2)由
,
,先研究函数
,则
,由
在
上是减函数,可得
,通过研究
的正负可判断
的单调性,进而可得函数
的单调性,可求出参数范围.
试题解析:(1)(
),
所以切线的斜率,
整理得,显然,
是这个方程的解,
又因为在
上是增函数,
所以方程有唯一实数解,
故.
(2),
,
设,则
,
易知在
上是减函数,从而
.
①当,即
时,
,
在区间
上是增函数,
∵,∴
在
上恒成立,即
在
上恒成立.
∴在区间
上是减函数,所以
满足题意.
②当,即
时,设函数
的唯一零点为
,
则在
上递增,在
上递减,
又∵,∴
,
又∵,
∴在
内有唯一一个零点
,
当时,
,当
时,
.
从而在
递减,在
递增,与在区间
上是单调函数矛盾.
∴不合题意.综上①②得,
.
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【题目】影响消费水平的原因很多,其中重要的一项是工资收入.研究这两个变量的关系的一个方法是通过随机抽样的方法,在一定范围内收集被调查者的工资收入和他们的消费状况.下面的数据是某机构收集的某一年内上海、江苏、浙江、安徽、福建五个地区的职工平均工资与城镇居民消费水平(单位:万元).
地区 | 上海 | 江苏 | 浙江 | 安徽 | 福建 |
职工平均工资 | 9.8 | 6.9 | 6.4 | 6.2 | 5.6 |
城镇居民消费水平 | 6.6 | 4.6 | 4.4 | 3.9 | 3.8 |
(1)利用江苏、浙江、安徽三个地区的职工平均工资和他们的消费水平,求出线性回归方程,其中
,
;
(2)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过1万,则认为得到的线性回归方程是可靠的,试问所得的线性回归方程是否可靠?(的结果保留两位小数)
(参考数据:,
)