题目内容
【题目】已知定点(
为正常数),
为
轴负半轴上的一个动点,动点
满足
,且线段
的中点在
轴上.
(1)求动点的轨迹
的方程;
(2)设为曲线
的一条动弦(
不垂直于
轴).其垂直平分线与
轴交于点
.当
时,求
的最大值.
【答案】(1)(2)6
【解析】
(1)设,进而求得
的坐标,再根据三角形的性质可得
即可得
满足的方程,化简即可.
(2)由(1)以及可得轨迹
的方程为
,再设弦
所在直线方程为
,
,
,联立直线与抛物线的方程,利用韦达定理求得
的中点,进而求得线段
的垂直平分线的方程,代入
得到
,再根据弦长公式求解
,代入
利用二次不等式的最值求解即可.
解:(1)设,则
的中点
的坐标为
,
.
又,故
.
由题意知,所以
,即
,所以
.
因为点不能在
轴上,故曲线
的方程为
.
(2)设弦所在直线方程为
,
,
.
由得
.①
则,
,则线段
的中点为
,
即.
线段的垂直平分线的方程为
.
令,
,得
.得
.
所以
由①,
.
得,即
.
所以,当,即
时,
取得最大值,最大值等于36,即
的最大值为6.
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