题目内容
(本小题满分14分)
若一个数列各项取倒数后按原来的顺序构成等差数列,则称这个数列为调和数列.已知数列是调和数列,对于各项都是正数的数列,满足.
(Ⅰ)求证:数列是等比数列;
(Ⅱ)把数列中所有项按如图所示的规律排成一个三角形数表,
当时,求第行各数的和;
(Ⅲ)对于(Ⅱ)中的数列,若数列满足
,求证:数列为等差数列.
若一个数列各项取倒数后按原来的顺序构成等差数列,则称这个数列为调和数列.已知数列是调和数列,对于各项都是正数的数列,满足.
(Ⅰ)求证:数列是等比数列;
(Ⅱ)把数列中所有项按如图所示的规律排成一个三角形数表,
当时,求第行各数的和;
(Ⅲ)对于(Ⅱ)中的数列,若数列满足
,求证:数列为等差数列.
(Ⅰ)证明:因为,且数列中各项都是正数,
所以 .
设, ①
因为数列是调和数列,故,.
所以. ②
由①得,
代入②式得,即.
故. 所以数列是等比数列. ………………………………5分
(Ⅱ)设的公比为,则,即.由于,故.
于是.
注意到第行共有个数,
所以三角形数表中第1行至第行共含有个数.
因此第行第1个数是数列中的第项.
故第行第1个数是,
所以第行各数的和为. …………10分
(Ⅲ)由 ,得,
即,所以, ①
②
②—① 得 ,
即, ③
, ④
④-③ 得 ,即.
所以为等差数列. ………………………………………………14分
所以 .
设, ①
因为数列是调和数列,故,.
所以. ②
由①得,
代入②式得,即.
故. 所以数列是等比数列. ………………………………5分
(Ⅱ)设的公比为,则,即.由于,故.
于是.
注意到第行共有个数,
所以三角形数表中第1行至第行共含有个数.
因此第行第1个数是数列中的第项.
故第行第1个数是,
所以第行各数的和为. …………10分
(Ⅲ)由 ,得,
即,所以, ①
②
②—① 得 ,
即, ③
, ④
④-③ 得 ,即.
所以为等差数列. ………………………………………………14分
略
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