题目内容

(本小题满分14分)

若一个数列各项取倒数后按原来的顺序构成等差数列,则称这个数列为调和数列.已知数列是调和数列,对于各项都是正数的数列,满足
(Ⅰ)求证:数列是等比数列;
(Ⅱ)把数列中所有项按如图所示的规律排成一个三角形数表,
时,求第行各数的和;
(Ⅲ)对于(Ⅱ)中的数列,若数列满足
,求证:数列为等差数列.
(Ⅰ)证明:因为,且数列中各项都是正数,
所以
,               ①
因为数列是调和数列,故
所以.                                 ②
由①得
代入②式得,即.
. 所以数列是等比数列.    ………………………………5分
(Ⅱ)设的公比为,则,即.由于,故
于是
注意到第行共有个数,
所以三角形数表中第1行至第行共含有个数.
因此第行第1个数是数列中的第项.
故第行第1个数是
所以第行各数的和为.  …………10分
(Ⅲ)由 ,得
,所以,        ①
                        ②
②—① 得
,  ③
,  ④
④-③ 得 ,即.
所以为等差数列.           ………………………………………………14分
略       
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