Question

【题目】已知椭圆的左、右顶点分别为，，且以线段为直径的圆与直线相切，椭圆截直线所得线段的长度为1.

（1）求椭圆的方程；

（2）设过点的动直线与椭圆相交于，两点，若（为坐标原点），求直线的斜率的取值范围.

Answer 1

【答案】(1)；(2).

【解析】

（1）根据直线与圆相切，以及椭圆中截得的弦长即可列方程求得，则问题得解；

（2）设出直线方程，联立椭圆方程，根据韦达定理，结合向量的模长关系，即可容易求得.

（1）以线段为直径的圆方程为，

因为其与直线相切，

故可得，

又满足椭圆方程，故可得，

故可得，

故可得椭圆方程为.

（2）因为，故可得，

设坐标分别为，即；

设直线方程为，

联立椭圆方程可得，

若要使得直线与椭圆交于两点，

则，

解得，即.

故可得，

则

.

要满足题意，只需，

即，则.

综上所述：.