题目内容
【题目】设函数.
(1)求函数的单调区间;
(2)若函数在
零点,证明:
.
【答案】(1)在上是增函数,在
上是减函数; (2)
.
【解析】
(1)先确定函数的定义域,然后求,进而根据导数与函数单调性的关系,判断函数
的单调区间;
(2)采用分离参数法,得,根据
在
上存在零点,可知
有解,构造
,求导
,知
在
上存在唯一的零点,即零点k满足
,进而求得
,再根据
有解,得证
(1)解:函数的定义域为
,
因为,所以
.
所以当时,
,
在
上是增函数;
当时,
,
在
上是减函数.
所以在
上是增函数,在
上是减函数.
(2)证明:由题意可得,当时,
有解,
即有解.
令,则
.
设函数,所以
在
上单调递增.
又,所以
在
上存在唯一的零点.
故在
上存在唯一的零点.设此零点为
,则
.
当时,
;当
时,
.
所以在
上的最小值为
.
又由,可得
,所以
,
因为在
上有解,所以
,即
.
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