题目内容
【题目】已知.
(1)求函数的定义域;
(2)求证:为偶函数;
(3)指出方程的实数根个数,并说明理由.
【答案】(1);(2)证明见解析;(3)两个,理由见解析.
【解析】
(1)根据对数函数的真数大于,列出不等式组求出
的取值范围即可;
(2)根据奇偶性的定义即可证明函数是定义域上的偶函数.
(3)将方程变形为
,即
,设
(
),再根据零点存在性定理即可判断.
解:(1)
,解得
,即函数
的定义域为
;
(2)证明:∵对定义域中的任意
,
都有
∴函数为偶函数;
(3)方程有两个实数根,
理由如下:
易知方程的根在
内,
方程可同解变形为
,即
设(
).
当时,
为增函数,且
,
则在内,函数
有唯一零点,方程
有唯一实根,
又因为偶函数,在内,函数
也有唯一零点,方程
有唯一实根,
所以原方程有两个实数根.
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