Question

已知直线x=3与双曲线C：

x2

9

-

y2

4

=1的渐近线交于E₁，E₂两点，记

OE1

=

e1

，

OE2

=

e2

，任取双曲线上的点P，若

OP

=a

e1

+b

e2

（a，b∈R），则下列关于a，b的表述：
①4ab=1②0＜a²+b²＜

1

2

③a²+b²≥1④a²+b²≥

1

2

⑤ab=1
其中正确的是______．

Answer 1

双曲线C：

x2

9

-

y2

4

=1的渐近线方程为y=±

2

3

x，
将直线x=3代入y=±

2

3

x，可得E₁（3，2），E₂（3，-2）．
∵

OE1

=

e1

，

OE2

=

e2

，
∴

e1

=（3，2），

e2

=（3，-2），
∴

OP

=a

e1

+b

e2

=（3a+3b，2a-2b），
∴P（3a+3b，2a-2b），
∵P是双曲线C：

x2

9

-

y2

4

=1的点，
∴

(3a+3b)2

9

-

(2a-2b)2

4

=1，
∴（a+b）²-（a-b）²=1，
∴4ab=1，∴①正确；
∵a²+b²≥2ab=

1

2

，∴④正确；
故答案为：①④．