题目内容
2.已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1(a>b>0)的长轴长是短轴长的$\sqrt{3}$倍,且经过点($\sqrt{3}$,1),O为坐标原点.(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设点M(0,2),直线l经过M与椭圆相交于A、B两点,若S△ABO=$\sqrt{3}$,直线l的方程.
分析 (Ⅰ)由题意可得a=$\sqrt{3}$b,且$\frac{3}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{{b}^{2}}$=1,解方程可得a,b,进而得到椭圆方程;
(Ⅱ)设直线l:y=kx+2,代入椭圆方程可得,(1+3k2)x2+12kx+6=0,即有△=144k2-24(1+3k2)>0,
运用韦达定理和△ABO的面积为S△MBO-S△MAO=$\frac{1}{2}$×2|x1-x2|=|x1-x2|=$\sqrt{({x}_{1}+{x}_{2})^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$,代入韦达定理,解方程即可得到k的值,进而得到直线l的方程.
解答 解:(Ⅰ)由题意可得a=$\sqrt{3}$b,且$\frac{3}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{{b}^{2}}$=1,
解得a=$\sqrt{6}$,b=$\sqrt{2}$,
即有椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{6}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1;
(Ⅱ)设直线l:y=kx+2,
代入椭圆方程可得,(1+3k2)x2+12kx+6=0,
即有△=144k2-24(1+3k2)>0,
x1+x2=$\frac{-12k}{1+3{k}^{2}}$,x1x2=$\frac{6}{1+3{k}^{2}}$,
则△ABO的面积为S△MBO-S△MAO=$\frac{1}{2}$×2|x1-x2|
=|x1-x2|=$\sqrt{({x}_{1}+{x}_{2})^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{\frac{144{k}^{2}}{(1+3{k}^{2})^{2}}-\frac{24}{1+3{k}^{2}}}$=$\sqrt{3}$,
解得k2=1,检验△>0成立.
则直线l的方程为y=±x+2.
点评 本题考查椭圆的方程和性质,主要考查椭圆的方程和运用,联立直线方程运用韦达定理和弦长公式,考查运算能力,属于中档题.
A. | $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$ | B. | $\frac{1}{2}$ | C. | $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$ | D. | $\frac{1}{3}$ |
A. | $\frac{1}{2}$ | B. | $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$ | C. | $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$ | D. | $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$ |
A. | (-2,0) | B. | (-3,0) | C. | (-4,0) | D. | (-5,0) |
A. | 向左平移$\frac{π}{3}$个单位长度 | B. | 向右平移$\frac{π}{3}$个单位长度 | ||
C. | 向左平移$\frac{π}{6}$个单位长度 | D. | 向右平移$\frac{π}{6}$个单位长度 |