题目内容

2.已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1(a>b>0)的长轴长是短轴长的$\sqrt{3}$倍,且经过点($\sqrt{3}$,1),O为坐标原点.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设点M(0,2),直线l经过M与椭圆相交于A、B两点,若S△ABO=$\sqrt{3}$,直线l的方程.

分析 (Ⅰ)由题意可得a=$\sqrt{3}$b,且$\frac{3}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{{b}^{2}}$=1,解方程可得a,b,进而得到椭圆方程;
(Ⅱ)设直线l:y=kx+2,代入椭圆方程可得,(1+3k2)x2+12kx+6=0,即有△=144k2-24(1+3k2)>0,
运用韦达定理和△ABO的面积为S△MBO-S△MAO=$\frac{1}{2}$×2|x1-x2|=|x1-x2|=$\sqrt{({x}_{1}+{x}_{2})^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$,代入韦达定理,解方程即可得到k的值,进而得到直线l的方程.

解答 解:(Ⅰ)由题意可得a=$\sqrt{3}$b,且$\frac{3}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{{b}^{2}}$=1,
解得a=$\sqrt{6}$,b=$\sqrt{2}$,
即有椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{6}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1;
(Ⅱ)设直线l:y=kx+2,
代入椭圆方程可得,(1+3k2)x2+12kx+6=0,
即有△=144k2-24(1+3k2)>0,
x1+x2=$\frac{-12k}{1+3{k}^{2}}$,x1x2=$\frac{6}{1+3{k}^{2}}$,
则△ABO的面积为S△MBO-S△MAO=$\frac{1}{2}$×2|x1-x2|
=|x1-x2|=$\sqrt{({x}_{1}+{x}_{2})^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{\frac{144{k}^{2}}{(1+3{k}^{2})^{2}}-\frac{24}{1+3{k}^{2}}}$=$\sqrt{3}$,
解得k2=1,检验△>0成立.
则直线l的方程为y=±x+2.

点评 本题考查椭圆的方程和性质,主要考查椭圆的方程和运用,联立直线方程运用韦达定理和弦长公式,考查运算能力,属于中档题.

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