题目内容
【题目】如图,在四棱锥P-ABCD中,,
平面PAB,
,点E满足
.
(1)证明:;
(2)求二面角A-PD-E的余弦值.
【答案】(1)证明见解析 (2)
【解析】
(1)由勾股定理计算出,然后求数量积
得
,由线面垂直可得
,从而可证得
平面ABCD得证线线垂直;
(2)建立如图所示的直角坐标系,用空间向量法求二面角的余弦值.
(1)证明:在中,
由勾股定理,得
.
因为,
所以
.
所以,所以
.
因为平面PAB,
平面PAB,
所以.
又因为,
所以平面ABCD.
又因为平面ABCD,
所以.
(2)由得
.
所以点E是靠近点A的线段AB的三等分点.
所以.
分别以所在方向为y轴,z轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系
.
则.
设平面PDE的法向量为,
由,得
.
令,则
;
设平面APD的法向量为,
由,得
,
令,则
.
设向量与
的夹角为
,
则.
所以二面角的余弦值为
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
练习册系列答案
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【题目】某鲜花店每天制作、
两种鲜花共
束,每束鲜花的成本为
元,售价
元,如果当天卖不完,剩下的鲜花作废品处理.该鲜花店发现这两种鲜花每天都有剩余,为此整理了过往100天这两种鲜花的日销量(单位:束),得到如下统计数据:
| 48 | 49 | 50 | 51 |
天数 | 25 | 35 | 20 | 20 |
| 48 | 49 | 50 | 51 |
天数 | 40 | 35 | 15 | 10 |
以这100天记录的各销量的频率作为各销量的概率,假设这两种鲜花的日销量相互独立.
(1)记该店这两种鲜花每日的总销量为束,求
的分布列.
(2)鲜花店为了减少浪费,提升利润,决定调查每天制作鲜花的量束.以销售这两种鲜花的日总利润的期望值为决策依据,在每天所制鲜花能全部卖完与
之中选其一,应选哪个?