Question

【题目】已知函数，其中，为自然对数的底数.

（1）若函数既有极大值又有极小值，试求实数的取值范围；

（2）设，且，是函数的两个零点，求证：.

Answer 1

【答案】（1），，；（2）证明见解析.

【解析】

（1）求出，令，求出方程有两个不相等的根所满足的条件，即可求出结论；

（2）根据已知条件，求出单调区间，得到是极值点，不妨设，将问题转化为证明，即证，结合单调性，只需证，再由，即证，构造函数，只需证明，即可得证结论.

（1），

既有极大值又有极小值，

有两个不相等的实数根，即且.

由且，得，，；

（2）证明：由（1）知，当时，在上单调递增，

在上单调递减.又，

令，则.

，

在区间上单调递增，

..

，是函数的两个零点，

不妨设，，

，，且在上单调递增，

，即.

由（1）可知，.