题目内容
【题目】如图,在四棱锥中,平面,四边形为矩形,是的中点,是的中点,点在线段上且.
(1)证明平面;
(2)当为多大时,在线段上存在点使得平面且与平面所成角为同时成立?
【答案】(1)见解析;(2)
【解析】
(1)以为原点,为轴,为轴,为轴,建立空间直角坐标系,
设,,,利用向量法即可证明平面.
(2)取中点,连结,易得平面,由,转化为与平面所成角为,求出平面的法向量,根据线面角公式即可得到,从而得到当时,在线段上存在中点,使得平面,且与平面所成角为同时成立.
(1)在四棱锥中,平面,四边形为矩形,
是的中点,是的中点,点在线段上且.
以为原点,为轴,为轴,为轴,建立空间直角坐标系,
设,,,
则,,,,
,,
,平面的法向量,
因为,平面,
所以平面.
(2)
取中点,连结,因为是中点,
所以,平面,
因为与平面所成角为同时成立,
所以与平面所成角为,
由(1)得,,,,
,,
设平面的法向量,
则,取,得,
因为与平面所成角为,
.
解得,即,
所以当时,在线段上存在中点,
使得平面,且与平面所成角为同时成立.
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