题目内容
【题目】已知函数.
(1)若,讨论
的单调性;
(2)若,且对于函数
的图象上两点
,
,存在
,使得函数
的图象在
处的切线
.求证;
.
【答案】(1)见解析(2)见证明
【解析】
(1)对函数求导,分别讨论
,
以及
,即可得出结果;
(2)根据题意,由导数几何意义得到,将证明
转化为证明
即可,再令
,设
,用导数方法判断出
的单调性,进而可得出结论成立.
(1)解:易得,函数的定义域为
,
,
令,得
或
.
①当时,
时,
,函数
单调递减;
时,
,函数
单调递增.
此时,的减区间为
,增区间为
.
②当时,
时,
,函数
单调递减;
或
时,
,函数
单调递增.
此时,的减区间为
,增区间为
,
.
③当时,
时,
,函数
单调递增;
此时,的减区间为
.
综上,当时,
的减区间为
,增区间为
:
当时,
的减区间为
,增区间为
.
;
当时,
增区间为
.
(2)证明:由题意及导数的几何意义,得
由(1)中得
.
易知,导函数
在
上为增函数,
所以,要证,只要证
,
即,即证
.
因为,不妨令
,则
.
所以
,
所以在
上为增函数,
所以,即
,
所以,即
,
即.
故有(得证).
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】已知椭圆:
的左、右焦点分别为
,
,若椭圆经过点
,且
的面积为
.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)设斜率为的直线
与以原点为圆心,半径为
的圆交于
,
两点,与椭圆
交于
,
两点,且
,当
取得最小值时,求直线
的方程.
【题目】国家规定,疫苗在上市前必须经过严格的检测,并通过临床实验获得相关数据,以保证疫苗使用的安全和有效.某生物制品硏究所将某一型号疫苗用在动物小白鼠身上进行科研和临床实验,得到统计数据如下:
未感染病毒 | 感染病毒 | 总计 | |
未注射疫苗 | 40 | p | x |
注射疫苗 | 60 | q | y |
总计 | 100 | 100 | 200 |
现从未注射疫苗的小白鼠中任取1只,取到“感染病毒”的小白鼠的概率为.
(1)求列联表中的数据p,q,
,
的值;
(2)能否有把握认为注射此种疫苗有效?
(3)在感染病毒的小白鼠中,按未注射疫苗和注射疫苗的比例抽取5只进行病例分析,然后从这五只小白鼠中随机抽取3只对注射疫苗情况进行核实,求至少抽到2只为未注射疫苗的小白鼠的概率. 附:.
0.05 | 0.01 | 0.005 | 0.001 | |
3.841 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
【题目】2017年被称为“新高考元年”,随着上海、浙江两地顺利实施“语数外+3”新高考方案,新一轮的高考改革还将继续在全国推进。辽宁地区也将于2020年开启新高考模式,今年秋季入学 的高一新生将面临从物理、化学、生物、政治、历史、地理等6科中任选三科(共20种选法)作为 自己将来高考“语数外+3 ”新高考方案中的“3”。某地区为了顺利迎接新高考改革,在某学校理科班的200名学生中进行了“学生模拟选科数据”调查,每个学生只能从表格中的20种课程 组合选择一种学习。模拟选课数据统计如下表:
序号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
组合学科 | 物化生 | 物化政 | 物化历 | 物化地 | 物生政 | 物生历 | 物生地 |
人数 | 20人 | 5人 | 10人 | 10人 | 10人 | 15人 | 10人 |
序号 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 |
组合学科 | 物政历 | 物政地 | 物历地 | 化生政 | 化生历 | 化生地 | 化政历 |
人数 | 5人 | 0人 | 5人 | ... | 40人 | ... | ... |
序号 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | |
组合学科 | 化政地 | 化历地 | 生政历 | 生政地 | 生历地 | 政历地 | 总计 |
人数 | ... | ... | ... | ... | ... | ... | 200人 |
为了解学生成绩与学生模拟选课情之间的关系,用分层抽样的方法从这200名学生中抽取40人的样本进行分析.
(1)样本中选择组合12号“化生历”的有多少人?样本中选择学习物理的有多少人?
(2)从样本选择学习地理且学习物理的学生中随机抽取3人,求这3人中至少有1人还要学习生物的概率;