Question

已知中心在原点，顶点A₁、A₂在x轴上，离心率e=的双曲线过点P(6，6).
(1)求双曲线方程.
(2)动直线l经过△A₁PA₂的重心G，与双曲线交于不同的两点M、N，问:是否存在直线l,使G平分线段MN，证明你的结论.

Answer 1

(1)=1 (2)所求直线l不存在

(1)如图，设双曲线方程为=1.

由已知得,解得a²=9,b²=12.
所以所求双曲线方程为=1.
(2)P、A₁、A₂的坐标依次为(6,6)、(3，0)、(－3，0），
∴其重心G的坐标为(2，2）
假设存在直线l，使G(2，2)平分线段MN，设M(x₁,y₁)，N(x₂,y₂). 则有
，∴k_l=
∴l的方程为y= (x－2)+2,
由,消去y,整理得x²－4x+28=0.
∵Δ=16－4×28＜0,∴所求直线l不存在.