题目内容
已知椭圆




(1)求椭圆

(2)若点D为椭圆





(3)若直线









解:(1)设椭圆方程为
将
、
、
代入椭圆E的方程,得
解得
.
∴椭圆
的方程
(2)
,设
边上的高为
当点
在椭圆的上顶点时,
最大为
,所以
的最大值为
.
设
的内切圆的半径为
,因为
的周长为定值6.所以
,
所以
的最大值为
.所以内切圆圆心的坐标为
(3)法一:将直线
代入椭圆
的方程
并整理.
得
.
设直线
与椭圆
的交点
,
由根系数的关系,得
.
直线
的方程为:
,它与直线
的交点坐标为
同理可求得直线
与直线
的交点坐标为
.
下面证明
、
两点重合,即证明
、
两点的纵坐标相等:
,


因此结论成立.
综上可知.直线
与直线
的交点住直线
上.
法二:直线
的方程为:
由直线
的方程为:
,即
由直线
与直线
的方程消去
,得


∴直线
与直线
的交点在直线
上.

将





∴椭圆


(2)



当点





设




所以



(3)法一:将直线



得

设直线



由根系数的关系,得

直线







下面证明







因此结论成立.
综上可知.直线



法二:直线


由直线



由直线





∴直线




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