题目内容
【题目】已知椭圆C: +=1(a>b>0)的离心率为,椭圆C的长轴长为4.
(1)求椭圆C的方程;
(2)已知直线l:y=kx+与椭圆C交于A,B两点,是否存在实数k使得以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O?若存在,求出k的值;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)(2)
【解析】
试题分析:(1)设椭圆的焦半距为c,则由题设,得:,解得a,b,c值,可得椭圆C的方程;
(2)设点A,B,将直线l 的方程代入,利用韦达定理,及向量垂直的充要条件,可求出满足条件的k值
试题解析:(1)设椭圆的焦半距为c,则由题设,得:,
解得所以b2=a2﹣c2=4﹣3=1,
故所求椭圆C的方程为+x2=1.
(2)存在实数k使得以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O.
理由如下:
设点A(x1,y1),B(x2,y2),
将直线l 的方程y=kx+代入+x2=1,
并整理,得(k2+4)x2+2 kx﹣1=0.(*)
则x1+x2=﹣,x1x2=﹣.
因为以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O,
所以=0,即x1x2+y1y2=0.
又y1y2=k2x1x2+k(x1+x2)+3,
于是﹣﹣+3=0,解得k=±,
经检验知:此时(*)式的△>0,符合题意.
所以当k=±时,以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O.
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