题目内容
【题目】已知圆C: ,直线l:
(Ⅰ)求直线l所过定点A的坐标;
(Ⅱ)求直线l被圆C所截得的弦长最短时m的值及最短弦长;
(Ⅲ)已知点,在直线MC上(C为圆心),存在定点N(异于点M),满足:对于圆C上任一点P,都有
为一常数,试求所有满足条件的点N的坐标及该常数。
【答案】(1)直线过定点
(2)
(3)
【解析】试题分析:(1)将直线中m合并到一起,然后令系数及剩余都为0即可得定点(2)直线l被圆C所截得的弦长最短时即当时(3)由题知,直线
的方程为
,假设存在定点
满足题意,则设
,
,得
,且
再根据圆系方程可得对任意
恒成立,
且
即可求出结论
试题解析:
解:(Ⅰ)依题意得,
令且
,得
直线
过定点
(Ⅱ)当时,所截得弦长最短,由题知
,
,得
,
由
得
圆心到直线的距离为
最短弦长为
(Ⅲ)法一:由题知,直线的方程为
,假设存在定点
满足题意,
则设,
,得
,且
整理得,
上式对任意
恒成立,
且
解得 或
(舍去,与
重合)
综上可知,在直线上存在定点
,使得
为常数
法二:设直线上的点
取直线与圆
的交点
,则
取直线与圆
的交点
,则
令,解得
或
(舍去,与
重合),此时
若存在这样的定点满足题意,则必为
,
下证:点满足题意,
设圆上任意一点,则
综上可知,在直线上存在定点
,使得
为常数
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