题目内容
【题目】从中这
个数中取
个数组成递增等差数列,所有可能的递增等差数列这个数记为
.
(1)当时,写出所有可能的递增等差数列及
的值;
(2)求;
(3)求证:.
【答案】(1);(2)
;(3)证明见解析.
【解析】
试题分析:(1)通过列举,可知符合要求的递增等差数列为共
个.所以
;(2)由于
,且
,即有
项,所以
,故
取
,
取
个,归纳出个数
;(3)由于
,按照(2)的方法,求出
的表达式,然后利用差比较法证明不等式.
试题解析:
(1) 符合要求的递增等差数列为共
个.
.
(2)设满足条件的一个等差数列首项为,公差为
的可能取值为
.对于给定的
,当
分别取
时,可得递增等差数列
个(如:
时,
,当
分别取
时,可得递增等差数列
个:
,其它同理)
当
取
时,可得符合要求的等差数列个数为:
.
(3)证明: 设等差数列首项为,公差为
,记
的整数部分是
,则
,即
.
的可能取值为
,对于给定的
, 当
分别取
时,可得递增等差数列
个.
当
取
时,符合要求的等差数列个数
.由题意
.又
,
.
. 即
.
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