题目内容
对任意实数列
，定义
它的第
项为
,假设
是首项是
公比为
的等比数列.
（1）求数列
的前项和
；
（2）若
，
，
.
①求实数列的通项
；
②证明：
.
，定义它的第项为,假设是首项是公比为的等比数列.（1）求数列
的前项和；（2）若
，，.①求实数列
的通项；②证明：
.（1）
；（2）①
；②详见解析.
；（2）①；②详见解析.试题分析：本题以新定义的模式考察了等比数列的通项公式和前n项和以及不等式的放缩法．（1）由
是首项是公比为的等比数列，故实数列确定，即
，再结合的定义，得
，然后求和即可（需分类讨论）；（2）由，.，可确定
，利用累加法可求；和式
可看作数列
的前n项和，故先求其通项公式，得
，因前n项和不易直接求出，故可考虑放缩法，首先看不等式右边，可想到证明每项都小于
，由
，进而可证明右面不等式，再考虑不等式左边，
，因为
，故
，进而求和可证明．试题解析：（1）令
这里
是公比为的等比数列.
，当
时，
，
，. 2分当
时，是公比为，首项为
的等比数列；.
. 4分综上
. 6分（2）①由题设
，
，
叠加可得（）. 8分②
. 10分又
，
，
即
，
，
. 12分
即
. 13分
练习册系列答案
相关题目
各项都是正数，
，
，
.
.
, 则数列{
}的前5项和为（ ）
满足
，
，定义：使乘积
为正整数的k
叫做“简易数”.则在[3,2013]内所有“简易数”的和为 .
,则
等于 ( )
的各项都是正数，且
则
= ( )
满足：对任意
，则公比
.