题目内容

【题目】已知抛物线x2=4y,圆C:x2+(y﹣2)2=4,点M(x0 , y0),(x0>0,y0>4)为抛物线上的动点,过点M的圆C的两切线,设其斜率分别为k1 , k2
(Ⅰ)求证:k1+k2= ,k1k2=
(Ⅱ)求过点M的圆的两切线与x轴围成的三角形面积S的最小值.

【答案】解:(I)证明:设切线方程y﹣y0=k(x﹣x0),即kx﹣y+y0﹣kx0=0, 切线与x轴交为( ,0),圆心到直线的距离d= =2
整理得:
由两切线的斜率分别为k1 , k2
则k1+k2= ,k1k2=
(Ⅱ)S= |( )﹣( )|y0
= y02
= y02
= y02
=
=
=2[ +(y0﹣4)+8]
≥2(2 +8)
=32.
当且仅当 =y0﹣4,即y0=8时取等号.
故两切线与x轴围成的三角形面积S的最小值为32
【解析】(I)设切线:y﹣y0=k(x﹣x0),切线与x轴交于点( ,0),圆心到切线的距离d= =2,结合韦达定理,可得k1+k2= ,k1k2= .(Ⅱ)求出过点M的圆的两切线与x轴围成的三角形面积S的表达式,由基本不等式可求出两切线与x轴围成的三角形面积S的最小值.

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